Konu: Genel Matematik Örnekli Konu özetleri ve sorular

1 - Fonksiyonlar Konu Özeti--------------------------------------------------------------------------------

TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için, A nın her elemanını B’nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen A’dan B’ye bir f bağıntısına A ‘dan B’ye FONKSİYON denir.


Kısaca, A’dan B’ye bir bağıntının fonksiyon olması için,


a) x A için (x, y) f olacak biçimde y B olmalı.

b) A kümesinin bir elemanı B kümesinin birden fazla elemanı ile eşlenemez.


A kümesinin f fonksiyonunun TANIM KÜMESİ ve B kümesine f fonksiyonunun DEĞER KÜMESİ denir.


f fonksiyonu x A’yı y B’ye eşliyorsa y’ye x’in görüntüsü denir ve f: x y veya y = f (x) biçiminde gösterilir.

TERS FONKSİYON:

f: A B ye, f: x y = f (x) fonksiyonu birebir ve örten fonksiyon olsun. B A ya ve y x fonksiyonuna f in tersi denir ve f-1 şeklinde gösterilir.


f: A B f-1 : B A

f: x y = f (x) f-1 : y x = f-1(y)



ÖRNEKLER:

1. f: R R, f (x) = x + 5 ise f-1(x) nedir

Çözüm:


2. R+ R ye f (x) = x2 + 2 fonksiyonunun tersini bulunuz (x > 0)

Çözüm:

BİLEŞKE FONKSİYON:

f: A B ve g: B C birer fonksiyon ise A’daki her elemanı f ve g fonksiyonları ile C’nin elemanlarına dönüştüren fonksiyon f ile g’nin bileşkesi denir.


ÖZELLİKLERİ:

1) fog gof

2) (fog)oh = fo(goh

3) fof-1 = f-1 of = I ( I birim fonksiyon)

4) foI = Iof = f

5) (f-1)-1 = f

6) (fog)-1 = g-1of-1

7) (fogoh)-1 = h-1 o g-1 o f-1

8) fog = h f = hog-1 ve g = f-1 o h



ÖRNEKLER:

1. R R’ye iki fonksiyon, f (x) = 2x – 1 ve g (x) = x + 1 ise (gof)( - 1) nedir

Çözüm:

(gof)(- 1) = g(f(- 1)) = g(2.(- 1) – 1 )

= g(- 3) = - 3 + 1 = - 2

2. f ve g : R R’ye

f (x) = 3x + 2 ve g(x) = ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulun.

Çözüm:



3. f ve g : R R’ye

f (x) = 2x + 1 ve (gof) (x) = 3x + 2 ise, g(x) nedir

Çözüm:

(gof of-1)(x) = (3x + 2) of-1



g (x) = (3x + 2) of-1

f (x) = 2x + 1 f-1 (x) = dir.



4. f ve g : R R’ye f (x) = ve (fog)(x) = 6x + 1 ise g(x) =

Çözüm:

(f-1o fog)(x) = f-1 o (6x + 1)

g (x) = f-1 o(6x + 1)

f (x) =

g (x) = (3x + 1) o (6x + 1)

g (x) = 3. (6x + 1) + 1 = 18x + 4

5. f ve g : R R’ye

(gof-1) (x) = ve g-1 (x) = 3x – 1 ise f (x) nedir

Çözüm:

(g-1ogof)(x) = g-1 o

2 - İntegral Konu Özeti--------------------------------------------------------------------------------

TANIM:

f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.

F’(x) dx = F(x) veya

f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:

f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2

f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1

f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3



BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:

A. f’(x) dx = f(x) + C

B. d[f (x)] = f (x) + C

C. f (x)dx = f (x) dx ( R)

D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx

E. [ f (x) dx] = f (x)

F. d[ f (x)dx] = f(x) dx



ÖRNEKLER:

1. 2x dx = x2 + C

2. d(3x2) = 3x2 + C

3. 5x4dx = 5 x4dx

4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx

5. [ 2x dx] = 2x

6. d (x3dx) = x3dx

ÖRNEKLER:

1.

2. 12dx = 12x + C

3.

4. (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx =

ÇÖZÜM 4:

x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du


3 - Limit Konu Özeti
--------------------------------------------------------------------------------


BİR FONKSİYONUN LİMİTİ

TANIM

A R ve f: A – {xo} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t

x xo

şeklinde gösterilir.



SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:

SAĞDAN LİMİT:

y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde

x x+o

gösterilir.



SOLDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2

x x-o



ÖRNEK:

x2 + 1, x 0 ise,

x + 1 , x < 0 ise,



fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir



ÇÖZÜM:

lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1

x 0+ x 0+



lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1

x 0- x 0-



O halde lim f(x) = 1 dir.



x 0

4 - Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Konu Özeti--------------------------------------------------------------------------------

A)

1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx

2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx

3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x


4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)


ÖRNEKLER:

1. f (x) = Secx f’(x) =

ÇÖZÜM:


2. f (x) = Cosec f’(x) =

ÇÖZÜM:

B.

1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]

2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)]

3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]


4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]


ÖRNEKLER:

1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x

2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) =

ÇÖZÜM:

f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]

f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]

3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir

ÇÖZÜM:

f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)

4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) =

ÇÖZÜM:

f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’

f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)



Cevaplar

1.C
2.C
3.B
4.D
5.D
6.E
7.B
8.C
9.C
10.C
11.D
12.A
13.A
14.B
15.D
16.C
17.C
18.B
19.
20.A
21.C
22.B
23.E
24.A
25.E
26.C










CEVAPLAR